从普朗克定律到斯特藩-玻尔兹曼定律  

斯特藩-玻尔兹曼定律（又称斯特藩定律）定义了处于热平衡状态的黑体每单位表面积所发射的总能量。要确定一个物体的总辐射功率，只需将其辐射出射度乘以其表面积[math]A[/math]。该定律将辐射出射度[math]M[/math]表示为温度的函数。带有上标圆圈的辐射出射度表示黑体特有的物理量。

[math]M(T)\ =\ \varepsilon \cdot \ M^{\circ }(T)=\ \varepsilon \cdot \sigma \cdot  T^4\ [/math]

比例常数[math]\sigma [/math]被称为斯特藩-玻尔兹曼常数，是由基本物理常数推导而来的。

[math]\sigma=\frac{2\pi^{5}\cdot k_B^4}{15c^{2}\cdot h^{3}}=5670 \cdot 10^{-8}W \cdot m^{-2} \cdot K^{-4}[/math]

在一般情况下，用于描述辐射出射度的斯特藩-玻尔兹曼定律会引入发射辐射表面的发射率形式。对于灰体而言，面积为[math]A\ [/math]的表面所产生的发射辐射功率 [math]P\ [/math]会通过发射率ε  进行修正，该发射率反映了材料发射红外辐射的能力。

[math]P\left(T\right)=A \cdot M\left(T\right)=A\cdot \epsilon \cdot \sigma \cdot T^{4}[/math]

该定律可以通过将普朗克定律在整个光谱和半球空间上进行积分来推导，同时需要考虑兰伯特余弦定律。其中，[math]B_{\lambda }(\lambda ,T)[/math]是源自普朗克定律的辐亮度光谱，[math]d\Omega \ =\sin (\theta )\ d\theta \ d\phi [/math]是球坐标系中的立体角元，[math]\theta [/math]是表面法线与辐射方向之间的夹角，[math]\phi [/math]是半空间中的方位角，而 [math]\cos (\theta )[/math]项则用于体现兰伯特余弦定律。

[math]M\left(\lambda,T\right)=\int_{0}^{\infty}\int_{}^{} B_{\lambda}\left(\lambda,T\right)\cos\left(\sigma\right)d\Omega\ d\lambda[/math]

由于[math]B_{\lambda }(\lambda ,T)[/math]与方向无关，因此在半球空间上的角度积分可以简化，因为这些三角函数项的积分结果为一个简单的系数[math]\pi [/math]。

[math]M°\left(\lambda,T\right)=\int_{0}^{\infty} B_{\lambda}\left(\lambda,T\right)d\lambda\int_{0}^{\pi/2} \cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)d\left(\theta\right)\int_{0}^{2\pi} d\phi=\int_{0}^{\infty} B_{\lambda}\left(\lambda,T\right)d\lambda \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\pi[/math]

对光谱辐亮度[math]B_{\lambda }(\lambda ,T)[/math]进行积分时，需要代入指数部分变量[math]x=\frac{hc}{\lambda \ k_B\ T}[/math]，从而得到[math]d\lambda =-\frac{h}{\lambda ^2\ k_B\ T}\ dx\ [/math]。在引入玻色-爱因斯坦积分（Bose-Einstein integral）后，该方程可简化为以下形式。

[math]M°\left(\lambda,T\right)=\pi\int_{0}^{\infty} B_{\lambda}\left(\lambda,T\right)d\lambda=2\pi\cdot hc^{2}\left(\frac{k_{B}T}{hc}\right)^{4}\int_{0}^{\infty} \frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx=2\pi \cdot hc^{2}\frac{k_{B}T}{hc}\frac{\pi^{4}}{15}=\frac{2\pi^{5}k_B^4}{15c^{2}h^{3}}T^{4}[/math]

最后一项代表了前面已经引入的斯特藩-玻尔兹曼常数，并证明了黑体所发射的能量与其温度的四次方成正比。图1展示了发射光谱与发射功率之间的关系。

黑体表面每单位面积发射的总功率（P）与其温度的四次方成正比。