红外温度计算

红外传感器通过测量物体表面发射的红外辐射或辐射通量来确定其温度。该辐射能量是物体温度及其材料特定发射率的函数。此外，热传感器还会探测到到达的其他红外通量，其中包括反射的环境辐射、内部辐射以及透射辐射。为了将测得的辐射转换成温度值，红外传感器使用基于普朗克定律的校准模型，并将目标材料已知或估算的发射率纳入计算；在更复杂的情况下，还会结合有关光学环境的信息。

在最简单的情况下，即仅考虑单一辐射源和窄波段波长时，对于发射率为ε的灰体，其光谱辐射出射度[math]M_\lambda^° (\lambda,T)[/math]与温度和波长的关系可以通过普朗克定律来定义。其中， [math]c_1[/math]和[math]c_2[/math]分别为普朗克第一常数和第二常数。

[math]M_\lambda^° (λ,T)=ε \cdot \frac{c_1}{λ^5} \frac{1}{e^{\frac{c_2}{λ \cdot T}} -1} [/math]

对该方程进行逆运算，便可得出在给定光谱出射度及发射率情况下的温度值。

[math]T=\frac{c_{2}}{\lambda \cdot \ln\left(\frac{\epsilon \cdot c_{1}}{\lambda^{5} \cdot M_\lambda^°}\right)+1}[/math]

在实际应用中，探测器通常测量的是某一个光谱范围内的辐射，而不是单一波长。为了考虑到这一因素，需要对目标波长区间，从波长下限到波长上限内的普朗克函数进行积分，从而获得累积的辐射强度。

[math]\phi_{\lambda}°\left(\lambda,T\right)=\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}} \frac{c_{1}}{\lambda^{5}}\frac{1}{e^{\frac{c_{2}}{\lambda\cdot T}}-1}d\lambda[/math]

该方程中不存在温度的解析解，因此必须对该积分进行数值求解——通常采用多项式逼近等方法。为了简化计算，这里假设探测器测量的是接收到的红外通量[math]\phi[/math] 与传感器自身温度的对比值。该总通量 [math]\phi_{\lambda}[/math]与红外传感器检测到的信号 U成正比，并构成了确定物体温度的基础。在这个过程中，必须考虑红外测温仪自身的内部辐射。因此，必须测量传感器自身的温度[math]T_{int}[/math]，并在后续步骤中从总红外通量中将其扣除。

[math]U\ \sim \ \phi_\lambda\left(\ \lambda,\ T\right)-\ \phi_{int}\left(T_{int}\right)\ [/math]

根据基尔霍夫定律（Kirchhoff’s law）和朗伯定律（Lambert’s law），辐射通量  [math]\phi_{\lambda}[/math] 是发射辐射、反射辐射和透射辐射的总和。其中，[math]\theta[/math]是表面法线与辐射方向之间的夹角，[math]\phi[/math]是半空间内的方向角，而 [math]cos\left(\theta\right)[/math]项则用于引入朗伯余弦定律（Lambert’s cosine law）。

[math]\phi=\phi_{\epsilon}+\phi_{p}+\phi_{\tau}=\sum_i\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}} M_{i}\left(\lambda,T\right)d\lambda[/math]

通过在红外传感器的带宽范围内对普朗克定律进行积分（考虑所有红外辐射源），并结合朗伯定律，即可推导出辐射通量[math]\phi_{\lambda}[/math]。在此处，假设在传感器带宽范围内发射率近似为常数，且传感器的敏感度假设为 1，则该方程可以简化为如下形式。其中，变量 [math]T_{obj}[/math], [math]T_{p}[/math],和[math]T_{\tau}[/math] 分别代表物体的温度、反射源的温度以及背景的温度。

[math]\phi_{\lambda}\left(\lambda,T_{obj}T_{p},T_{\tau}\right)=\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}} \epsilon \cdot M°\left(\lambda,T_{obj}\right)d\lambda+\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}}\rho \cdot  M°\left(\lambda,T_{\rho}\right)d\lambda+\int_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}}\tau \cdot M°\left(\lambda,T_{\tau}\right)d\lambda[/math]

因此，正比于探测器的信号 U是所有这些辐射通量的组合叠加。

[math]U\sim \phi_{\lambda}\left(\lambda,T_{obj}T_{\rho},T_{\tau}\right)-\phi_{int}\left(T_{int}\right)[/math]

作为一种简化情况，根据斯特凡-玻尔兹曼定律（Stefan-Boltzmann law），对于包含整个红外光谱的范围（即 [math]\lambda_1=0[/math]到[math]\lambda_2=\infty [/math]），从物体表面辐射出的总能量正比于其发射率以及其绝对温度的四次方。

[math]U\sim \phi\left(T\right)=\epsilon \cdot \sigma\cdot T_{4}[/math]

由于实际应用的红外测温仪是在有限的光谱范围内工作的，因此理想状态下的斯特凡-玻尔兹曼指数 n=4会被一个有效指数 n所替代，该有效指数取决于波长和光谱敏感度。在此处引入常数 ci是为了代替光学参数，并作为校准系数使用。

[math]U\sim \phi_{\lambda}\left(\lambda,T\right)\sim c_{i}T^{n}[/math]

探测器信号是基于总辐射通量得到的，该通量是反射辐射、发射辐射以及透射辐射的总和，并扣除了传感器自身的辐射。

[math]U\ \sim \ \phi_\lambda\left(\ \lambda,T_{obj}T_\rho,\ T_\tau\right)-\ \phi_{int}\left(T_{int}\right)\rightarrow U=c_\varepsilon\ \varepsilon\ \ T_{obj}^n+c_\rho\ \rho\ \ T_{\rho\ }^n+\ c_\tau\ \tau\ \ T_{\tau\ }^n-\ c_{int}\ T_{int}^n[/math]

通过对该辐射逆方程进行求解，传感器便能将测得的红外信号转化为温度读数，从而对应出物体表面的热状态。

[math]T_{obj}=\ \sqrt[n]{\frac{U+ c_{int} T_{int}^n{- c}_ρ ρ  T_{ρ }^n-c_τ τ  T_{τ }^n }{c_ε \cdot ε}}[/math]

该公式代表了一种理想化的测量设置，即光路中没有任何窗口。

图 2 展示了一个作为代表性示例的标准测量设置。一个非接触式热传感器直接观测一个透射率可忽略不计的不透明物体。在这种场景下，物体与传感器之间不存在任何透光元件。此外，该物体具有高发射率且在光学上是厚重的，这使我们可以假设物体的透射率为零（[math]\tau=0[/math]）。根据基尔霍夫定律，我们推导出[math]\rho=1- \ \varepsilon[/math] 。同时，假设传感器与其周围环境处于热平衡状态，因此我们可以认为环境温度等于传感器内部温度（[math]T_{int}=T_{amb}[/math]）。此外，还假设任何反射源的温度都等于环境温度（ [math]T_\rho=T_{amb}[/math]）。因此，方程可以简化为如下形式：

[math]T_{obj}=\ \sqrt[n]{\frac{U+T_{int}^n\ \left(c_{int}+\ c_\rho\ \varepsilon\ -\ c_\rho\right)\ }{c_\varepsilon\cdot\ \varepsilon}}[/math]

因此，准确确定温度要么需要预先获知发射率，要么需要采用一种原位（在场）方法来对其进行补偿。校准系数 [math]c_{int}[/math], [math]c_{\rho}[/math]和[math]c_{\epsilon}[/math]是在出厂校准期间确定的。

更复杂的场景涉及在物体与传感器之间引入一个红外窗口（如图 3 所示）。物体会发射与其温度相对应的红外辐射，同时也会反射部分环境辐射。传感器测量的是穿过该窗口的总辐射通量，该窗口的透射率为τw。窗口会部分吸收接收到的辐射，并根据其自身的温度 [math]T_{window}[/math] 发射额外的辐射。