黑体辐射峰值移动

维恩位移定律（通常简称为“维恩定律”）表明，黑体辐射的峰值波长与温度成反比。随着温度的升高，峰值波长会向更短的波长方向移动；而温度较低时，峰值波长则会向更长的波长方向移动。这种波长与温度之间的反比关系是普朗克辐射定律的直接推论，普朗克定律描述了在给定温度下，黑体辐射的谱强度随波长的变化规律。简单来说，物体的温度越高，其辐射出的波长就越短；物体的温度越低，其辐射出的波长就越长。

维恩位移定律明确指出，黑体辐射的谱辐射亮度在某一特定波长 [math]\lambda _{peak}[/math]处达到最大值，而该波长完全由黑体的温度T决定。

[math]\lambda _{peak}=\frac{b}{T}[/math]

常数 b 是一个比例常数，被称为维恩位移常数。

[math]b=2.897\ \cdot \ 10^{-3}\ m\ K[/math]

图 1 描绘了在不同温度下，黑体辐射随波长的变化曲线。每条温度曲线都在一个特定的波长处达到峰值，而维恩定律则描述了该峰值位置随温度变化而发生的移动。

维恩位移定律无法准确预测长波长与低温度下的情况。在低温度下，无法从维恩定律推导得到一条连续的曲线。如图 1 所示，随着波长增加和温度降低，峰值波长曲线开始趋于渐近线。此外，随着温度的升高，普朗克定律所描述的曲线会变得更加宽展。

维恩位移定律可以从普朗克定律中推导并近似得出。为此，需要将普朗克的谱辐射亮度函数[math]B_{\lambda}\left(\lambda,T\right)[/math] 对波长λ求导，并令导数结果为零，以此来计算峰值的位置。

[math]\frac{d}{d\lambda}\cdot B_{\lambda}\left(\lambda,T\right)=\frac{hc}{\lambda\cdot k_{B}\cdot T}\frac{e\frac{hc}{\lambda\cdot k_{B}\cdot T}}{e\frac{hc}{\lambda\cdot k_{B}\cdot T}-1}-5=0[/math] 

通过定义[math]x\ =\ \frac{hc}{\lambda k_B T}[/math]，推导出的普朗克函数可以得到简化，因为它变成了一个关于该单变量的函数。  

[math]\frac{x\ e^x}{e^x-1}-5=\ …\ =\ e^x\ (x-5)\ +5=0[/math] 

该方程必须使用牛顿法进行数值求解，得到 x=4.965。将该结果代入峰值波长[math]\lambda _{peak}[/math] 的关系式中，便可推导出维恩常数。

[math]\ \lambda _{peak}\ =\ \frac{h\ c}{x\ k_BT}\ =\ \frac{h\ c}{4.965\ k_B}\ \frac{1}{T}=\ \frac{b}{T}\ [/math]

大约 25% 的总红外能量分布在短于峰值的波长区域，而另外 75% 的能量则分布在长于峰值的波长区域 [4]。因此，红外辐射测量技术和长波传感器通常最适合调谐用于测量高温；然而，当波长峰值仍处于长波区域时，短波传感器在测量低温方面就会面临挑战。