双色测温法中的比率法

比率法试图同时确定一个单一的温度值和发射率比值，以同时满足两个探测器在两个独立波长下的测量数据。比率法是双色（或双波长）高温计中常用的一种技术，它通过两个分别测量不同波长下辐射强度的探测器，来帮助评估物体表面的真实温度。

双色测温法的基本原理非常直观：在传统的非接触式温度测量中，通常存在两个未知数——物体的真实温度和它的发射率——但却只有一个来自单探测器的测量数据。而双色法则增加了一个工作在不同波长下的第二探测器，从而有效地提供了第二个测量数据。乍一看，这似乎创建了一个可解的方程组：两个未知数（温度和发射率）和两个独立的测量值。然而在现实中，该系统实际上仍然包含三个未知数，因为发射率会随着波长的变化而改变。这意味着在一个波长下的发射率可能与在第二个波长下的发射率不同，因此为了求解出表面的真实温度，仍然必须对这两个波长下的发射率比值做出假设。

光路中的背景或环境影响，也是支持选择比率高温计的一个重要理由。假设光路中存在粉尘、蒸汽或半透明的窗口。在这种情况下，只有当这两个波长下的衰减程度相同时，比率高温计才能抵消掉这些损失。在许多实际案例中，宽波段的遮挡物，例如均匀变脏的透镜，或是对两个通道影响程度相似的烟雾，确实可以通过比率测量来得到缓解。然而，如果光路的透射率随波长变化而不同，即非灰体衰减，它就会在实质上改变测量到的发射率比值并引入误差，这与发射率自身发生变化所带来的影响完全一样。也就是说，即使物体的发射率比值保持恒定，两个通道不相等的透射率依然会引入类似于发射率误差的测量偏差。

双色高温计的常见假设是：物体在两个波长 [math]\lambda_T[/math]和 [math]\lambda_B[/math]下的发射率几乎相等，即 [math]\varepsilon_1 (\lambda_T )= \varepsilon_2 (\lambda_B )[/math] 。如果 [math]\varepsilon_1 (\lambda_T )[/math]不等于[math]\varepsilon_1 (\lambda_B )[/math] ，则必须进行调整。在比率高温计中，这种调整通常被称为“斜率（Slope）”或发射率比值。

[math]\varepsilon_{slope}= \frac{\varepsilon_1 (\lambda_T )}{\varepsilon_2 (\lambda_B )} \approx 1 [/math]

首先根据发射率的定义，即在相同温度下物体的亮度与黑体亮度之间的比值。将普朗克公式代入其中，可以注意到[math]\lambda^5[/math]和[math]c_1[/math]项会在相除时被消去，从而得出包含辐射常数 [math]c_1[/math]和[math]c_2[/math]的以下表达式。

[math]\varepsilon_{slope}= \frac{\varepsilon_1 (\lambda_T )}{\varepsilon_2 (\lambda_B )} = \frac{M_(\lambda_T ) (\lambda_T,T_T )}{M_(\lambda_T)^° (\lambda_T,T)} \cdot \frac{M_(\lambda_B)^° (\lambda_B,T)}{M_(\lambda_B ) (\lambda_B,T_B )} =⋯ =\frac{e^{\frac{c_2}{\lambda_T \cdot T_T}}-1}{e^{\frac{c_2}{\lambda_T \cdot T}}-1} \cdot \frac{e^{\frac{c_2}{\lambda_B \cdot T}}-1}{e^{\frac{c_2}{\lambda_B  \cdot T_B}} -1}[/math]

通过计算这两个波长下两个发射率的比值，可以得出在两个波长下的等效亮度温度[math]T_T[/math]与[math]T_B[/math]实际表面温度 [math]𝑇[/math]之间的以下关系式。

该方程不存在解析解，因此必须通过迭代法求解其数值解。为此，引入了比率温度（ratio temperature）的概念，它是通过两个探测器的读数计算得出的。比率温度是指：若一个黑体在相同的两个波长下发射出相同的辐射比值，该黑体所具有的温度。

[math]\frac{1}{T_R}= \Lambda (\frac{1}{\lambda_T T_T}-\frac{1}{\lambda_B T_B})[/math]

利用维恩近似（Wien’s approximation）以及关于这两个发射率之间关系的已知信息，可以推导出一个更简单的公式。

[math]\frac{1}{T}=\frac{1}{T_R} +  \frac{\Lambda }{c_2} \ln⁡{(\varepsilon_{slope} )}[/math]

尽管由于忽略了普朗克定律中的分母项，维恩定律在较低温度或较长波长下会引入一定的误差，但仍可推导出如下方程。即便如此，在双色高温计所运行的高温、短波长区域，该方程通常依然相当准确。

在此引入有效波长 [math]\Lambda[/math] ，它取决于所使用的这两个波长。它并非实际存在的物理波长，而是一个出现在确定表面温度公式中的数学构建值。

[math]\Lambda = \frac{\lambda_B \lambda_T}{\lambda_T-\lambda_B}[/math]

通过这组方程，在测得两个波长下的亮度温度并假设一个发射率比值，该比值通常接近于 1，之后，便可以计算出实际温度。

当这两个测量波长彼此靠得更近时，有效波长Λ 会迅速增大。虽然选择相互接近的波长有助于确保它们之间的发射率比值更加稳定且可预测，但这同时也会导致有效波长的值显著提高。然而，较高的有效波长会使计算出的温度对发射率比值的不确定性变得敏感得多。这在双色测温法中构成了一个根本性的权衡：使用间距较近的波长虽然提高了发射率假设的可靠性，但同时也放大了一旦该假设出现任何误差时对最终温度结果的影响。

从探测器信号到温度：比率法的数学基础 

表达比率依赖关系的另一种形式如下。通道之间的比值信号也可以用以下公式表示。这里假设所测量的两个波长非常窄，在考虑普朗克定律、且考虑到测量的带宽为单色[math]\Delta \lambda ≪\lambda[/math] 、波长[math]\lambda_B≈ \lambda_T[/math] 以及发射率值彼此接近[math]\varepsilon_1 (\lambda_T )≈\varepsilon_2 (\lambda_B )[/math] 之后，方程得以简化。由于探测器测量到的接收红外通量具有成正比的关系，因此通过将普朗克定律的定义代入以下针对两个波长 [math]\lambda_T[/math] 和 [math]\lambda_B[/math] 的方程中，便可获得比率法的表达式。

[math]\frac{U_T}{U_B}\ \sim \frac{\phi_{\lambda_T}( \lambda_1,T_{obj})}{\phi_{\lambda_B}( \lambda_2,T_{obj})} = \frac{\varepsilon_1 (\lambda_T )}{\varepsilon_2 (\lambda_B )} \cdot \frac{M^∘ (\lambda_T,T_{obj} ) }{M^∘ (\lambda_B,T_{obj} )} =⋯ = \varepsilon_{slope} \frac{\lambda_B^5}{\lambda_T^5} \frac{e^{\frac{c_2}{\lambda_B \cdot T}} -1}{e^{\frac{c_2}{\lambda_T \cdot T}}-1}  \\ \approx \varepsilon_{slope} \frac{\lambda_B}{\lambda_T} ^5 e^{\frac{c_2}{\lambda_B \cdot T} – \frac{c_2}{\lambda_T \cdot T}}=\varepsilon_{slope} \frac{\lambda_B}{\lambda_T} ^5 e^{ \frac{c_2}{T} \frac{\lambda_B- \lambda_T}{\lambda_B \lambda_T} }= \varepsilon_{slope} \frac{\lambda_B}{\lambda_T}^5  e^{\frac{-c_2}{T \Lambda}}[/math]

图 1 展示了一个典型比率高温计（R1M）的探测器信号随目标温度变化的关系函数。两条实线分别代表通道 1 和通道 2 中单个探测器的光谱信号响应，它们工作在不同的红外波长下。受普朗克定律的制约，随着温度升高，每个单色通道接收到的辐射强度都呈指数级增长，但由于其灵敏度取决于波长，因此两者的信号大小和斜率有所不同。

虚线展示了这两个通道信号的对数比值。与原始信号不同，该比率响应在宽温度范围内表现出接近线性的行为，这使得温度测量无需精确获知发射率的具体数值——前提是假设两个通道之间的发射率比值保持恒定。

根据上述公式，物体的温度可以重新调整为如下方程。此处为了进一步简化，仍需应用维恩近似（Wien approximation）。

[math]T= \frac{c_2}{\Lambda \left( \ln(\varepsilon_{slope}) + \ln(\frac{\lambda_B^5}{\lambda_T^5}) – \ln(\frac{U_T}{U_B}) \right)}[/math]

发射率斜率误差如何扭曲双色温度读数 

然而，比率高温计在获得“抵消发射率项”这一能力的同时，不幸也付出了代价。温度误差高度依赖于发射率比值的不确定性。如果这两个波长靠得太近，有效波长Λ  就会变得非常大，从而使计算结果对误差更加敏感。不过，在较窄的波长范围内，斜率可能会更稳定或更容易被准确获知，这在整体上有助于提高精确度。发射率比值的微小变化都会影响温度的估算结果。这种敏感性可以通过以下方式展现：针对温度求解比率方程，对温度关于斜率求导，并利用维恩近似消除部分指数和对数形式。

[math]\frac{\Delta T}{T} \approx  \frac{-\Lambda T}{c_2} \Delta \varepsilon_{slope}[/math]

即使在发射率比值上仅存在几个百分点的不确定性，在高温下也可能会产生几十度的温度误差。在实际应用中，看似微小的发射率比值变化，就能够使计算出的温度发生巨大的偏移。

许多商业系统在广告中宣称能够测量“真实”温度，它们依赖于工作在不同波长下的两个探测器，并使用“比率”模式来补偿发射率的差异。然而，准确的温度结果取决于这两个波长之间的发射率比值是已知的或保持稳定。这种方法也是有代价的：该技术对发射率比值的偏差高度敏感。在某些情况下，两个探测器信号之间仅 1 °C 的差异，就可能导致计算出的双色温度发生 10 °C 的偏移。总的来说，只有在测量过程中发射率比值保持恒定的前提下，比率高温计才能真正做到不受发射率影响。

图 2 展示了发射率斜率变化对双色高温计温度测量准确性的影响。尽管比率高温计能够补偿恒定的发射率，但当发射率在各个波长下的变化程度不同时，仍会产生偏差；因此，斜率会发生改变。

为什么比率高温计可能比单色设备产生更大的误差

除了斜率变化之外，还必须考虑每个通道的系统准确度。因为比率温度是基于各个单通道温度计算得出的。为了分析这一点，可以通过假设单个通道的温度读数存在偏差，来对比率温度方程进行计算和评估。由于单色通道的不确定性会通过比率高温计那接近线性的“发射率比值敏感度方程”进行传递，因此比率温度的偏差可能会高于该设备在单色模式下运行时的偏差。

图 3 对在完美黑体校准源上的系统准确度进行了对比，将一台假设准确度为读数 0.3% 的传统单色高温计，与一台假设每通道校准准确度为 0.1% 的比率高温计进行了比较。如果真实的目标温度为 1000 °C，通道 1 的读数为 999 °C，通道 2 的读数为 1000.0 °C——这两个读数均在典型的单通道校准不确定度范围内，但计算出的比率温度所产生的偏差却可能高达 4 °C。

双色高温计会放大微小的通道失配以及在设定发射率比值时产生的微小误差。这一结论直接源于有效波长的特性。选择间距较近的波长通常能使发射率比值更加稳定，使其更接近“两者相等（比值为 1）”的假设，但同时它也会增大有效波长，从而提高温度对斜率和通道间差异的敏感度。作为一个经验法则：双色温度可能会发生显著的偏移——通道之间大约每 1 °C 的差异，就可能导致最终的比率计算结果产生高达约 10 °C 的移动。

图 4 结合了系统准确度和斜率变化的共同影响。有趣的是，一台短波长单色高温计的性能完全可以媲美（甚至不输于）一台双色高温计。

图 5 展示了比率高温计的测量偏差，体现了设定的光谱发射率比值偏差以及系统准确度如何影响温度读数。其中，x 轴代表物体温度，y 轴代表发射率比值斜率的相对变化（±40% ），z 轴则指示由此导致的测量温度误差。即使是中等程度的斜率失配也会导致巨大的偏差，特别是在低温下。这突显了比率测温法对发射率斜率误差的敏感性，并强调了进行仔细的光谱发射率表征的必要性，尤其是在低温下运行时。

双色测温法的适用与失效场景

总的来说，除非发射率比值稳定、有据可依且至关重要，否则比率高温计不一定比单色高温计更准确。这有力地打破了“双色设备自动不受发射率影响”这一常见误区。设定发射率比值中存在的误差——尤其是由于表面状态变化、与波长相关的发射率特性或观测角度所引起的误差——会导致显著的测量偏差。尽管比率高温计对光谱发射率的变化依然敏感，但它们在恶劣或多变的环境中仍具有极其重要的优势：它们能够补偿由光学镜头污染、观测窗口或目标被部分遮挡所引起的均匀信号损失。同时，它们受目标尺寸变化或对准偏移的影响也较小，因此非常适合测量移动或被部分覆盖的物体。当发射率比值已知或相当稳定时，在传统单色方法难以应对的应用场景中，比率测温法能够实现稳定可靠的非接触式温度测量。