普朗克定律：从红外辐射到温度

所有温度高于绝对零度的物体都会发射红外辐射。随着物体温度的升高，其发射能量的强度也会增加，这使得通过分析红外辐射来测量温度成为可能。普朗克辐射定律确立了非接触式温度测量的基本原理，该定律表明，所有温度高于绝对零度（-273.15°C 或 0K）的物体都会发射电磁辐射。对于黑体（一种在所有波长下都能吸收和发射辐射的理想物体）而言，其红外发射的强度随温度的升高而增加，从而允许基于其发射的红外能量来确定温度。普朗克辐射定律还指出，物体的温度越高，其在所有波长下发射的辐射量就会呈指数级增加。普朗克定律描述了辐射波长在单位面积、单位立体角和单位频率下的光谱辐射出射度，其中c是光速，h是普朗克常数，k是玻尔兹曼常数 [1,2,3]。

[math]B_{\lambda }(\lambda ,T)=\frac{2hc^2}{\lambda ^5}\frac{1}{e^{\frac{h\ \bullet \ c}{\lambda \ \bullet \ k_B\ \bullet \ T}}-1}[/math]

普朗克定律有多种表达形式，也可以用光谱能量密度uλ(λ,T)  来表示：

[math]u_{\lambda }(\lambda ,T)\ \ =\frac{4\pi }{c}B_{\lambda }(\lambda ,T)[/math]

在上述普朗克定律的变体中，使用了[math]2h[/math][math]c^{2}[/math] 和 hc/[math]k_{B}[/math]这两个项，它们仅由物理常数组成。因此，这些项本身也可以被视为物理常数，故分别被称为第一辐射常数[math]c_1=\ 3.74\ \bullet 10^{-16}\ W/m^2[/math]和第二辐射常数[math]c_2=\ 1.44\ \bullet 10^{-2}\ K/m[/math]. In Planck’s law, [math]B_{\lambda }(\lambda ,T)[/math]。在普朗克定律中， [math]B_{\lambda }(\lambda ,T)[/math] 和[math]M°_{\lambda}\left(\lambda,T\right)[/math]描述了黑体辐射的不同方面。其中，[math]B_{\lambda }(\lambda ,T)[/math]被称为光谱辐亮度（Spectral Radiance），表示每单位波长和单位立体角所发射的辐射强度。它的测量单位是[math]Wm^{-2}\mu[/math][math]m^{-1}sr^{-1}[/math]，表明它量化的是特定方向上的辐射。相比之下，[math]M°_{\lambda}\left(\lambda,T\right)[/math]，即光谱辐射出射度（或光谱发射本领，Spectral Emissive Power），描述的是每单位面积和每单位波长在所有方向上积分后的总发射功率。其单位为 [math]Wm^{-2}\mu[/math][math]m^{-1}[/math]。下面的等式将这两个量联系了起来。 

[math]M°_{\lambda}\left(\lambda,T\right)=\pi.B_{\lambda}\left(\lambda,T\right)[/math]

因此，普朗克定律可以被改写为黑体向半空间辐射的光谱辐射出射度 [方程]，该数值取决于其温度和波长 [1,2,3]。

[math]M°_{\lambda}\left(\lambda,T\right)=\frac{c_{1}}{\lambda^{5}}.\frac{1}{e^{\frac{c_{2}}{\lambda T}}-1}[/math]

这些公式非常抽象，因此无法直接用于许多实际应用中。但许多物理观测结果都源自于此。发射的红外能量随物体温度的升高而增加，且峰值波长会向较短的波长移动。 随着温度的升高，特定光谱辐射的最大值会向短波方向偏移。在较高温度下，红外辐射量增加并能以热的形式被感知到，同时会发射出更多的可见光辐射，因此物体会发出肉眼可见的红光。在更高的温度下，物体会呈现明亮的黄色或蓝白色，并释放出大量的短波辐射。

在室温（约300K）下，物体发射的热辐射主要是不可见的红外辐射。其波长峰值大约在10到14µm之间，因此大多数热像仪的测温范围都设定在这一光谱区域。尽管如此，普朗克辐射定律指出，物体的温度越高，其在每一个波长下发射的辐射量也就越多。

指每单位波长、每单位立体角、每单位投影发射表面积从发射表面所发出的功率。由于该辐亮度是各向同性的且与方向无关，因此根据兰伯特余弦定律，与法线呈一定角度发射的功率正比于投影面积，并因而正比于该角度的余弦值，且它是非偏振的。

以下插图（图1）展示了该公式在不同温度下随波长变化的图形化描述。

将方程1进行反演，即可得到在窄带波长下给定光谱强度时的黑体温度，其表达式如下：

[math]T=\frac{hc}{\lambda \ k_B\ \bullet \ln \left(\frac{2hc^2}{\lambda ^5\ B_{\lambda }}+1\right)}[/math]